Εφαρμογή των αλγοριθμικών διαδικασιών στην εφαρμοσμένη θεωρία μητρών

Abstract

Στη διατριβής αυτή θεμελιώνεται και μελετάται ο δακτύλιος των συναρτήσεων μητρών. Εκτός από την θεωρητική μελέτη και έρευνα πάνω στο παραπάνω θέμα αναπτύσσονται ειδικοί αλγόριθμοι για τον υπολογισμό διαφόρων ποσοτήτων, που σχετίζονται και αφορούν τις συναρτήσεις μητρών. Είναι προφανές ότι η μελέτη και η έρευνα της διατριβής αυτής αφορά τις τετραγωνικές μήτρες, ώστε να μπορούμε να μιλάμε για αντιμετάθεση στον πολλαπλασιασμό μητρών καθώς και για αντίστροφη μήτρα. Εισαγωγικά, παρουσιάζεται η ομάδα των αντιστρέψιμων τετραγωνικών μητρών με τις ιδιότητες τους. Δίνονται οι γενικές αλλά και οι ειδικές ιδιότητες των ιδιοτιμών, των ιδιοδιανυσμάτων και της νόρμας μήτρας, που ορίζεται με τη βοήθεια του φάσματος της. Με τη βοήθεια αυτών, ορίζεται η Jordan κανονική μορφή μίας οποιασδήποτε τετραγωνικής μήτρας, καθότι με τη βοήθεια της Jordan μορφής μπορούν να υπολογιστούν εύκολα δυνάμεις μητρών. Έπειτα από την μελέτη όλων των παραπάνω βασικών εννοιών παρουσιάζεται η γενική περίπτωση λύσης της n-οστού βαθμού πολυωνυμικής εξίσωσης για οποιοδήποτε τετραγωνική μήτρα A. Εκτός της θεωρητικής μελέτης όλων των δυνατών περιπτώσεων αναπτύσσονται ειδικοί αλγόριθμοι επίλυσης των εξισώσεων αυτών. Στη διατριβή αυτή σχεδιάστηκε ένας αλγόριθμος επίλυσης πολυωνυμικών εξισώσεων μητρών, ο οποίος δεν απαιτεί την εύρεση της αντίστροφης συνάρτησης, όπως γινόταν μέχρι σήμερα. Σε αυτόν τον αλγόριθμο χρησιμοποιήθηκε μόνο η αρχική ν-οστού βαθμού πολυωνυμική συνάρτηση και οι παράγωγοί της. Συνεπώς, ο αλγόριθμος αυτός είναι πρακτικά εφαρμόσιμος σε οποιαδήποτε πολυωνυμική συνάρτηση τετραγωνικής μήτρας. Όλες οι πιθανές και δυνατές περιπτώσεις υλοποιήθηκαν με τη βοήθεια της Jordan κανονικής μορφής της μήτρας και τέλος, υπολογίζονται, μέσω του αλγορίθμου, το πλήθος των διαφορετικών ριζών της εξίσωσης και οι αλγεβρικές τους πολλαπλότητες. Στη συνέχεια, θέλοντας να καταστεί εφικτός ο υπολογισμός οποιασδήποτε συνάρτησης και δύναμης οποιασδήποτε τετραγωνικής μήτρας, μελετήσαμε τις συνιστώσες μήτρας. Παρουσιάζονται και αποδεικνύονται όλες τις βασικές ιδιότητες των συνιστωσών τετραγωνικών μητρών (ιδιότητες, λήμματα, προτάσεις), που μας ήταν απαραίτητες για την ολοκλήρωση της έρευνάς μας. Με τη βοήθεια όλων των παραπάνω, συνεχίζεται η έρευνα, αποδείχθηκαν και εφαρμόστηκαν τα βασικά θέματα της Ανάλυσης Συναρτήσεων στις Συναρτήσεις Μητρών. Ορίζεται η έννοια της ακολουθίας μητρών και μελετώνται οι ιδιότητές τους καθώς και η σύγκλισή τους. Μελετώνται ειδικές ακολουθίες μητρών, όπως οι αριθμητικές, γεωμετρικές και μικτές ακολουθίες μητρών. Επίσης μελετώνται οι αναδρομικές ακολουθίες μητρών πρώτης τάξης.

In this thesis the ring of the matrix functions is being established and studied. Besides the theoretical study and research of the subject, special algorithms are being developed for the calculation of quantities that have to do with the matrix functions. It is obvious that the study and research of this thesis has to do with the square matrices, so both the transposition in matrix multiplication and the inverse matrix exist. In the introduction the group of inversible square matrices are presented with their properties. The general and specific properties of the eigenvalues and eigenvectors are presented, as well as of the norm matrix which is defined using its spectrum. Using all these, we define the Jordan form of any square matrix, since using the Jordan form we can easily calculate matrix powers. After studying all these basic meanings, the general case is presented of the n-th degree polynomial equation, for every square matrix A. Besides the theoretical study of all the possible cases, special algorithms for solving these equations are also developed. In this thesis, an algorithm for solving polynomial matrix equations was created, which does not require to find the inverse function, which was the case until today. In this algorithm, only the initial n-th degree polynomial function and its derivatives were used. Therefore, this algorithm is practically applicable in any polynomial function of a square matrix. All the probable and possible cases were implemented using the Jordan normal form of the matrix and using the algorithm, the number of the different roots of the equation, as well as their algebraic multiplicities are calculated. Then we studied the components of a matrix, in order to be able to calculate any function and any power of any square matrix. The basic properties of the components of square matrices are presented and proved. These properties were essential for this thesis. Using all these, basic subjects of Function Analysis in Matrix Functions were proved and implemented. The concept of matrix sequences is created and presented, and their properties and convergence are examined. In addition, special matrix sequences are being examined, like the arithmetic, geometric and mixed matrix sequences. Finally, recursive matrix functions of first order are created and analyzed.