Ένας δικριτήριος αλγόριθμος για το γραμμικό πρόβλημα

Abstract

Στην παρούσα διατριβή αναπτύσσεται ένας αλγόριθμος τύπου Simplex ο οποίος έχει δύο ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά. Από τη μια μεριά ο αλγόριθμος αποφεύγει την εφικτή περιοχή, δηλαδή είναι ένας αλγόριθμος Εξωτερικών Σημείων. Είναι γνωστό ότι σύντομοι δρόμοι τύπου Simplex που αποφεύγουν την εφικτή περιοχή και συνδέουν ένα οποιοδήποτε βασικό σημείο με ένα βέλτιστο υπάρχουν πάντοτε. Από την άλλη μεριά ο αλγόριθμος κατέχει και ένα δεύτερο μονοτονικό κριτήριο εκτός της μονοτονίας της αντικειμενικής συνάρτησης, δηλαδή ελαττώνει την μη εφικτότητα του προβλήματος. Στη διατριβή γίνεται αναλυτική αιτιολόγηση του αλγορίθμου και εξάγεται η περατότητά του. Περιγράφεται ένας τρόπος υλοποίησης του αλγόριθμου για εκφυλισμένα προβλήματα καθώς και η χρήση του αλγόριθμου στην επίλυση γενικών γραμμικών προβλημάτων με τη χρήση μιας μεθόδου μεγάλου Μ. Τέλος παρουσιάζονται αποτελέσματα μιας εκτενούς υπολογιστικής μελέτης στην οποία συγκρίνεται ο δικριτήριος αλγόριθμος με τον δυϊκό αλγόριθμο Simplex. Ο δυϊκός αλγόριθμος Simplex έχει επιλεγεί για λόγους αμεροληψίας της σύγκρισης. Η σύγκριση έγινε σε τυχαία προβλήματα, αραιά και πυκνά. Τα αποτελέσματα της υπολογιστικής μελέτης αποκαλύπτουν ότι ο δικριτήριος αλγόριθμος είναι περισσότερο αποτελεσματικός. Η τάξη ανωτερότητάς του είναι ανάλογη αυτής του αλγορίθμου εξωτερικών σημείων σε σχέση με τον πρωτεύοντα αλγόριθμο Simplex. Τα αποτελέσματα αυτά αποδεικνύουν ότι ο δικριτήριος αλγόριθμος είναι το ίδιο αποτελεσματικός με τον αλγόριθμο εξωτερικών σημείων.

In this dissertation a Simplex type algorithm possessing two additional interesting characteristics is presented. From one point of view the algorithm is capable of avoiding the feasible region that is it is an exterior point algorithm. It is well known that short Simplex type paths connecting an arbitrary basic point with an optimal one and capable of avoiding the feasible region always exist. From another point of view, the algorithm possesses a second monotonic criterion except that of the monotonicity of the objective function, that is, the infeasibility of the primal problem is reduced from iteration to iteration. The correctness of the algorithm is shown in an analytical way and results regarding its finiteness for non degenerate problems are derived. An improved version for solving degenerate problems is described and its use in solving general linear problems through a big M method is presented. Finally, results of an extensive computational study comparing the bicriterion algorithm with the dual Simplex algorithm are presented. The dual Simplex algorithm is chosen because it is initialized in a similar way so that the comparison is fair. The comparison is based on randomly generated dense and sparse linear problems. Our results reveal that the bicriterion algorithms is more efficient that the dual Simplex algorithms. The superiority is similar to that of the exterior point Simplex algorithm over the primal Simplex algorithm. From these facts we conclude that the bicriterion algorithm and the exterior point Simplex algorithm are equivalent in terms of practical efficiency.