Υλοποίηση αναθεωρημένου αλγορίθμου simplex: για το γενικό γραμμικό πρόβλημα.

Abstract

Η εργασία αυτή πραγµατεύεται την επίλυση του γενικού γραµµικού προβλήµατος, δηλαδή την µεγιστοποίηση (ελαχιστοποίηση) µιας συνάρτησης της οποίας οι µεταβλητές υπόκεινται σε έναν αριθµό περιορισµών. Για την επίλυση του γραµµικού προβλήµατος χρησιµοποιήθηκε ο αναθεωρηµένος αλγόριθµος Simplex, καθώς και βοηθητικές προλυτικές διαδικασίες και κλιµάκωση. Για την αξιολόγηση της υλοποίησης εκτελέστηκε µια εκτεταµένη υπολογιστική µελέτη από την οποία εξήχθησαν χρήσιµα συµπεράσµατα για τον αλγόριθµο καθώς και για δύο µεθόδους αντιστροφής µήτρας. Οι δυο µέθοδοι που χρησιµοποιήθηκαν για την αντιστροφή της βάσης (basis) είναι i) η αντιστροφή µε χρήση Eta µητρών (Eta-atrix) και ii) η αντιστροφή µε χρήση ενός εξωτερικού γινοµένου και µιας πρόσθεσης µητρών (Rank One inversion). Η γλώσσα προγραµµατισµού που χρησιµοποιήθηκε είναι η C++ και συγκεκριµένα το πακαο Borland C ++ Builder 5. Η παρούσα Διπλωµατική χωρίζεται σε πέντε ενότητες. Η πρώτη κάνει αναφορά σε κάποιες εισαγωγικές έννοιες και στην δηµιουργία των εκτελέσιµων αρχείων Μetroprograms.eχe και Random.exe τα οποία διαβάζουν ήδη υπάρχοντα και δηµιουργούν τυχαία σύνολα δεδοµένων αντίστοιχα, για επίλυση µε τον αλγόριθµο. Στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται εκτενής αναφορά στις πρoλυτικές διαδικασίες (presolve) ενώ στο τρίτο αναλύεται ο κυρίως αλγόριθµος καθώς και οι παραλλαγές που χρησιµοποιούντm για ένα σηµαντικό κοµµάτι του, την αντιστροφή μήτρας (matrix inversion). Επιπλέον, στα δύο αυτά κεφάλαια περιγράφεται η διαδικασία δηµιουργίας του εκτελέσιµου Simplex.exe το οποίο αποτελεί το πρόγραµµα που θα χρησιµοποιηθεί για την υπολογιστική µελέτη. Τα αποτελέσµατα της οποίας συνοδευόµενα από συµπεράσµατα και προτάσεις για περαιτέρω έρευνα αποτελούν τα δύο τελευταία κεφάλαια.