Εκτίμηση πυρήνων των δεσμευμένων ποσοστημορίων και επικρατούσας τιμής χρονικών σειρών

Abstract

Το θέμα αυτής της διατριβής είναι η μη-παραμετρική πρόβλεψη χρονικών σειρών. Επομένως, μελετούμε τη σχέση ανάμεσα στην παρούσα και τις προηγούμενες παρατηρήσεις, όπου η συνάρτηση δεσμευμένης πυκνότητας πιθανότητας παίζει έναν σημαντικό ρόλο. Μελετούμε δύο πτυχές της συνάρτησης δεσμευμένης πυκνότητας πιθανότητας, την επικρατούσα τιμή και τα ποσοστημόρια. Αρχικά, για την δεσμευμένη επικρατούσα τιμή, αρχίζουμε τη μελέτη μας για ανεξάρτητες ταυτοτικά κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές και την επεκτείνουμε στην πιο περίπλοκη περίπτωση των χρονικών σειρών. Για αυτήν την περίπτωση, διατυπώνουμε μερικές επαρκείς συνθήκες, κάτω από τις οποίες ο εκτιμητής πυρήνων της δεσμευμένης επικρατούσας τιμής, που λαμβάνεται από κοινού σε έναν πεπερασμένο αριθμό διακριτών σημείων, είναι ασυμπτωτικά κανονικά κατανεμημένος. Κατόπιν, το γενικεύουμε για την περίπτωση μιας α-μιγνύουσας χρονολογικής σειράς για να λάβουμε την αντίστοιχη ασυμπτωτική συμπεριφορά όπως στην περίπτωση της ανεξαρτησίας. Δεύτερον, προτείνουμε έναν νέο εκτιμητή για ένα πολυμεταβλητό δεσμευμένο ποσοστημόριο, βασισμένο στον επανασταθμισμένο εκτιμητή των Nadaraya-Watson της συνάρτησης δεσμευμένης αθροιστικής κατανομής. Δείχνουμε ότι ο πολυμεταβλητός επανασταθμισμένος εκτιμητής των Nadaraya-Watson συγκλίνει με πιθανότητα ένα στο ποσοστημόριο του πληθυσμού και ομοιόμορφα σ' ένα συμπαγές σύνολο.

The subject of this thesis is the non parametric prediction of time series. Therefore, we study the relationship between accurrent and past observations, where the conditional density function plays an important role. We study two aspects of the conditional probability density function, the mode and the quantiles. Firstly, for the mode, we start our study for independent and identically distributed random variables, and we extend it for the more complicated case of time series. For this case, we state some sufficient conditions under which the joint kernel estimator of the conditional mode taken jointly at a finite number of distinct points is asymptotically normally distributed. Then we generalize it for the case of a-mixing process, by considering additional conditions on the mixing process to obtain the same result. Secondly, we propose a new estimator for a multivariate conditional quantile based on the reweighted Nadaraya-Watson estimator for the conditional cumulative distribution function. We prove that the multivariate reweighted Nadaraya-Watson estimator converges m.p.1 to the population quantile, and uniformly over a compact set.