Κρυπτογραφία βασισμένη σε δικτυώματα ακεραίων: θεωρία και εφαρμογές.

Abstract

Η παρούσα διπλωματική εργασία πραγματεύεται το είδος εκείνο της κρυπτογραφίας το οποίο χρησιμοποιεί δικτυώματα ακέραιων αριθμών, τόσο στις διαδικασίες της κρυπτογράφησης κι αποκρυπτογράφησης ενός μηνύματος, όσο και στις συναρτήσεις διασποράς και τις ψηφιακές υπογραφές. Η κρυπτογραφία με χρήση δικτυωμάτων, η οποία αποτελεί τμήμα της λεγόμενης μετα-κβαντικής κρυπτογραφίας, γεννήθηκε το 1996 με το κρυπτοσύστημα Ajtai–Dwork κι έκτοτε χαίρει παγκόσμιου ερευνητικού ενδιαφέροντος και μελέτης κι αποτελεί μία ιδιαίτερα σύγχρονη και ανταγωνιστική τεχνική σε παλαιότερα είδη κρυπτογραφίας, όπως ο αλγόριθμος RSA (Rivest – Shamir – Adleman) και η κρυπτογραφία ελλειπτικών καμπυλών (Elliptic Curve Cryptography – ECC). Αυτό το είδος κρυπτογραφίας έχει ως βάση κάποια δυσεπίλυτα –υπολογιστικά – μαθηματικά προβλήματα που ανακύπτουν από τη χρήση δικτυωμάτων, όπως το πρόβλημα της εύρεσης του βραχύτερου διανύσματος (Shortest Vector Problem – SVP) σε ένα δικτύωμα ακεραίων σε ένα n–διάστατο Ευκλείδειο χώρο ή το πρόβλημα της εύρεσης του εγγύτερου (εξωτερικού) διανύσματος (Closest Vector Problem – CVP) σε ένα δοθέν διάνυσμα συγκεκριμένου δικτυώματος σε ένα n–διάστατο Ευκλείδειο χώρο, καθώς επίσης και διάφορες παραλλαγές αυτών των δύο βασικών προβλημάτων. Εκτός από τα παραπάνω, παρουσιάζονται εδώ οι πιο γνωστοί αλγόριθμοι αναγωγής της βάσης ενός δικτυώματος, όπως ο LLL (Lenstra – Lenstra – Lovász), ο ΗΚΖ (Hermite – Korkine – Zolotarev) κ.ά., καθώς και τα πιο γνωστά κρυπτοσυστήματα (Ajtai – Dwork (AD), Goldreich – Goldwasser – Halevi (GGH), NTRU) που είναι βασισμένα σε δικτυώματα ακεραίων. Η παρούσα διπλωματική εργασία ασχολείται επίσης με την πιο γνωστή συνάρτηση διασποράς αυτού του είδους, τη LASH–x και αναφέρεται στην κρυπτανάλυσή της. Επίσης, παρουσιάζονται οι συναρτήσεις διασποράς SWIFFT και SWIFFTX που βασίζονται σε γρήγορους μετασχηματισμούς Fourier αλλά και oι ψηφιακές υπογραφές με χρήση δικτυωμάτων (GGH, NTRUSign). Τέλος, καταγράφονται τα τρέχοντα ανοιχτά ζητήματα σε αυτό το ερευνητικό πεδίο.