Το πρόβλημα του διακριτού λογαρίθμου στις κρυπταναλυτικές επιθέσεις.

Abstract

Η εξάπλωση των υπολογιστών και συστημάτων επικοινωνίας τις τελευταίες δεκαετίες, οδήγησε στην ανάγκη προστασίας πληροφοριών ψηφιακής μορφής. Κυρίαρχο ρόλο σε πρωτόκολλα επικοινωνίας στον τομέα της κρυπτογραφίας έπαιξε ο διακριτός λογάριθμος και εξασφάλισε την ασφαλή ανταλλαγή δεδομένων μέσω διαδικτύου. Δύο από τις πιο γνωστές κρυπτογραφικές εφαρμογές που βασίζονται στο πρόβλημα του διακριτού λογαρίθμου αποτελούν το πρωτόκολλο επικοινωνίας των Diffie – Hellman (1976) και το κρυπτοσύστημα ElGamal (1985). Επίσης, η κρυπτογραφία ελλειπτικών καμπυλών (1987), η οποία βασίζεται στον υπολογισμό λογαρίθμων πάνω σε ένα σύνολο σημείων ελλειπτικής καμπύλης, παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Η παρούσα εργασία ξεκινά με τη διασαφήνιση συγκεκριμένων εννοιών τόσο στον τομέα της κρυπτογραφίας όσο και στον τομέα των μαθηματικών για τη διευκόλυνση του αναγνώστη στην καλύτερη κατανόηση των αλγορίθμων που παρατίθενται. Ειδικότερος σκοπός της διπλωματικής είναι να μελετηθεί ο ρόλος του προβλήματος του διακριτού λογαρίθμου στις κρυπταναλυτικές επιθέσεις, καθώς και να παρουσιαστούν αναλυτικά οι αλγόριθμοι οι οποίοι οδηγούν στην επίλυση του προβλήματος σε διαφορετικούς χρόνους. Κάποιοι αλγόριθμοι από αυτούς είναι: αλγόριθμος του Shanks, αλγόριθμος ρ του Pollard, αλγόριθμος λ του Pollard, ο αλγόριθμος των Pohlig – Hellman και οι αλγόριθμοι λογισμού δεικτών, η μελέτη των οποίων πραγματοποιείται επί διάφορων πεπερασμένων κυκλικών ομάδων και ελλειπτικών καμπυλών. Η λειτουργία τους γίνεται ιδιαίτερα ξεκάθαρη μέσα από συγκεκριμένα τεχνηέντως μικρά αριθμητικά παραδείγματα. Τέλος, στόχο της εργασίας αποτελεί η συγκέντρωση των αλγορίθμων που επιλύουν το διακριτό λογάριθμο και η εκτέλεση τους στο προγραμματιστικό περιβάλλον Sage. Με αυτό τον τρόπο μπορεί να καταστεί κατανοητός, όχι μόνο από θεωρητικής πλευράς αλλά και από τεχνικής, ο τρόπος εκτέλεσης του εκάστοτε αλγορίθμου.