Αλγόριθμοι εσωτερικών σημείων και γραμμικός προγραμματισμός.

Abstract

Ο Γραμμικός Προγραμματισμός είναι ο πιο εφαρμοσμένος κλάδος της επιστήμης των Μαθηματικών με πληθώρα εφαρμογών στην επιστήμη των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Ασχολείται με την επίλυση του γραμμικού προβλήματος. Για το σκοπό αυτό μελετάει τις ιδιότητες του γραμμικού προβλήματος, κατασκευάζει μεθόδους επίλυσης (αλγόριθμους) και εξετάζει τρόπους εφαρμογής των αποτελεσμάτων στη λήψη πολύπλοκων αποφάσεων σε διοικητικό ή οικονομικό επίπεδο, με επιστημονικό τρόπο.Επίσης βρίσκει πολλές εφαρμογές στην παραγωγική διαδικασία, όπου αναζητούνται οι ποσότητες των παραγόμενων προϊόντων σε σχέση με τα αποθέματα, τις πρώτες ύλες, το προσωπικό και άλλους παράγοντες με στόχο την μεγιστοποίηση του κέρδους. Για πολλά χρόνια μέχρι την ανακάλυψη του Karmarkar και της μεθόδου του των εσωτερικών σημείων στις αρχές του ‘80, η μέθοδος Simplex θεωρούνταν ο μοναδικός αποτελεσματικός τρόπος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Τα τελευταία χρόνια όμως, οι αλγόριθμοι εσωτερικών σημείων έφεραν τα «πάνω κάτω» στα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού και βελτιστοποίησης. Έτσι οι αλγόριθμοι αυτοί ψάχνουν να βρουν τη βέλτιστη λύση στο εσωτερικό της εφικτής περιοχής κι όχι στα συνοριακά σημεία όπως οι αλγόριθμοι Simplex. Η βιβλιογραφία που σχετίζεται με τις μεθόδους αυτές είναι πολύ μεγάλη έτσι στην παρούσα εργασία θα προσπαθήσουμε να αναφερθούμε σε μερικά σημαντικά σημεία του θέματος. Στο πρώτο κεφάλαιο θα αναφερθούμε σε κάποιες μεθόδους εσωτερικών σημείων και στη συνέχεια θα μελετήσουμε κάποιες πρώιμες μεθόδους καθώς και τον αλγόριθμο του Karmarkar. Παρακάτω αναφερόμαστε στον γραμμικό προγραμματισμό και σε κάποια κλασσικά γραμμικά προβλήματα ενώ στα κεφάλαιο 5 ασχολούμαστε με τη μέθοδο Newton. Τέλος, στα κεφάλαια 6 και 7, επικεντρώνουμε την προσοχή μας στην εφαρμογή των μεθόδων εσωτερικών σημείων μέσω της ανάλυσης των μη εφικτών αλγορίθμων καθώς και σε προβλήματα ροής δικτύων.