Οι προλυτικές διαδικασίες στο γραμμικό προγραμματισμό: μια υπολογιστική μελέτη

Abstract

Η παρούσα διπλωματική εργασία πραγματεύεται τη μελέτη και καταγραφή όλων των γνωστών προλυτικών διαδικασιών (presolve techniques) που χρησιμοποιούνται πριν από την επίλυση κάποιου γραμμικού προβλήματος βελτιστοποίησης. Με την ορολογία επίλυση γραμμικού προβλήματος βελτιστοποίησης η επιστημονική κοινότητα αναφέρεται στην μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση μιας συνάρτησης οι μεταβλητές της οποίας υπόκεινται σε κάποιους περιορισμούς. Η επίλυση γραμμικών προβλημάτων βελτιστοποίησης μπορεί να επιτευχθεί με χρήση διάφορων αλγορίθμων όπως είναι οι αλγόριθμοι τύπου simplex, εσωτερικών σημείων αλλά και εξωτερικών σημείων. Πριν την επίλυση όμως, υπάρχουν ορισμένοι κανόνες στους οποίους ένα γραμμικό πρόβλημα πρέπει να υπακούει. Αυτοί οι κανόνες όπως η γραμμική ανεξαρτησία των περιορισμών, η ύπαρξη πλεοναζόντων περιορισμών και άλλοι πολλοί έχει παρατηρηθεί ότι πολλές φορές στην πράξη δεν ικανοποιούνται στην αρχική μορφή του γραμμικού προβλήματος. Επομένως, ο έλεγχος για τη τήρηση των κανόνων αυτών αλλά και η εφαρμογή αποτελεσματικών τεχνικών με σκοπό τη μείωση των διαστάσεων του γραμμικού προβλήματος αποτελούν ενδιαφέρων και σημαντικό ερευνητικό κομμάτι. Εκτός από την καταγραφή και παρουσίαση των τεχνικών αυτών, στα πλαίσια της διπλωματικής εργασίας οι τεχνικές θα υλοποιηθούν με τη βοήθεια του προγραμματιστικού περιβάλλοντος MATLAB. Επίσης, θα παρουσιαστούν οι επιδόσεις της συγκεκριμένης υλοποίησης με τη μορφή υπολογιστικής μελέτης. Επιπλέον, θα μελετηθούν οι χρόνοι εκτέλεσης της κάθε μιας τεχνικής καθώς και η επίδοση τους ως προς τη μείωση των διαστάσεων του προβλήματος. Ακόμα θα πραγματοποιηθούν πειράματα που θα αφορούν τη ακολουθία με την οποία θα πρέπει να εφαρμοστούν οι συγκεκριμένες τεχνικές με στόχο τον εντοπισμό της αποδοτικότερης σειράς.