Design and development of a hybrid mathematical programming algorithm

Abstract

One of the most significant and well-studied optimization problems is the Linear Programming problem (LP). LP consists of optimizing, (minimizing or maximizing) a linear function over a certain domain. The domain is given by a set of linear constraints. The presence of effective presolve techniques is of great importance for every linear programming solver. The main goal of the presolve session is to reduce the problem's size and to determine whether the problem is unbounded or infeasible. Computational results with a set of optimal benchmark problems from NETLIB are also presented. Finally, simplex algorithm has been used in order to solve benchmarks before and after a new proposed presolve technique has been performed to LPs. Moreover, an experimental investigation of a variation of Primal-Dual Exterior Point Simplex Algorithm (PDEPSA) is presented and it is called Primal-Dual Interior Point Simplex Algorithm (PDIPSA). In order to gain an insight into the practical behavior of the proposed algorithm, we have performed some computational experiments. Our computational results demonstrate that PDIPSA is faster comparable with simplex algorithm and primal exterior point algorithm. The main aim of this thesis is to present a hybrid algorithm which combines the strengths of Interior Point Methods (IPMs) and Exterior Point Simplex Algorithms (EPSAs). The hybrid algorithm takes full advantage of IPM at the first iterations which lead to significant enhancement of the objective function's value. The hybrid algorithm uses the Primal Dual Interior Point Simplex Algorithm (PDIPSA) which is a variation of EPSAs and computes a direction to the feasible region according to the interior point that was calculated by IPM. Furthermore, a computational study is presented with experiments over the Netlib set (optimal, Kennington and infeasible LPs) and the Misc section of Meszaros collection.

Κύριος στόχος της διατριβής είναι η μελάτη των αλγορίθμων γραμμικής βελτιστοποίησης και των 3 μεγάλων κατηγοριών, συνοριακοί αλγόριθμοι, μέθοδοι εσωτερικών σημείων (interior point methods) και αλγόριθμοι εξωτερικών σημείων (exterior point algorithms). Εκτός από τη μελέτη τους, σκοπός της διατριβής είναι η προσπάθεια συνδυασμού αυτών. Ένας σημαντικός τομέας του γραμμικού προγραμματισμού είναι οι προλυτικές διαδικασίες. Με τις προλυτικές διαδικασίες οι διαστάσεις του γραμμικού προβλήματος μπορούν να μειωθούν αισθητά με αποτέλεσμα την παραγωγή ενός νέου γραμμικού προβλήματος ισοδύναμου με το παλιό αλλά με μικρότερες διαστάσεις με απώτερο σκοπό ο λύτης να γίνει πιο αποτελεσματικός. Επίσης, πέρα από τις υπάρχουσες διαδικασίες στην βιβλιογραφία παρουσιάστηκε κι αναπτύχθηκε μια καινούρια μέθοδος με όνομα «Εντοπισμός και διαγραφή πλεονασματικών μεταβλητών». Ο πρωτεύων αλγόριθμος εξωτερικών σημείων (Exterior Point Simplex Algorithm - EPSA) αποτελεί την πρώτη προσπάθεια ανάπτυξης αλγορίθμων που κινούνται εκτός της εφικτής περιοχής. Παραλλαγή του EPSA είναι ο πρωτεύων-δυικός αλγόριθμος τύπου Simplex δύο δρόμων (Primal Dual Exterior Point Simplex Algorithm - PDEPSA). Ο PDEPSA αν και καλύτερος του EPSA, υποφέρει εντούτοις από πιθανή εμφάνιση των φαινομένων της στασιμότητας και της κύκλωσης. Για την αποφυγή των φαινομένων της στασιμότητας και της κύκλωσης παρουσιάζουμε μια συγκεκριμένη παραλλαγή του PDEPSA που ονομάζεται Primal Dual Interior Point Simplex Algorithm (PDIPSA. Στην συγκεκριμένη εργασία πραγματοποιήθηκε υπολογιστική μελέτη για να ελεγχθούν στην πράξη τα παραπάνω. Η κύρια συνεισφορά της διατριβής είναι η μελέτη για το κατά ποσό μπορούν να συνδυαστούν αλγόριθμοι διαφορετικών κατηγοριών. Πιο συγκεκριμένα, ο συνδυασμός αλγορίθμων εσωτερικών σημείων και αλγορίθμων εξωτερικών σημείων είναι στο επίκεντρο. Αναλυτικότερα, γίνεται χρήση του PDIPSA διότι αποτελεί μια από τις πιο αποδοτικές παραλλαγές των αλγορίθμων εξωτερικών σημείων και του αλγορίθμου Mehrotra Predictor-Corrector από την ομάδα των αλγορίθμων εσωτερικών σημείων. Επομένως, ο συνδυασμός αυτός αποτελεί έναν πολλά υποσχόμενο αλγόριθμο, διότι με αυτόν τον τρόπο εκμεταλλευόμαστε τα δυνατά σημεία της κάθε ομάδας και αποφεύγουμε τις αδυναμίες τους. Για τον έλεγχο των παραπάνω πραγματοποιήθηκε υπολογιστική μελέτη, όπου έχουν χρησιμοποιηθεί προβλήματα benchmark από την ομάδα Netlib, από την ομάδα Kennington αλλά κι από την συλλογή Meszaros.